自发磁化、热力学相变、量子相变，这些看似复杂的物理现象在数学上找到了一个简单却极为重要的模型——Ising模型。在Ising模型中，只有两种磁性粒子（或称自旋）在二维或三维的晶格上随机排布，这个简单系统却展示了大量的物理现象，这也是为什么Ising模型在物理学领域中屡屡被提及的原因。

Ising模型最初是在上世纪二十年代由德国物理学家Ernst Ising提出，他用这个模型来解释材料中的磁化现象，尤其是在从顺磁态到铁磁态的相变中。Ising模型看似简单，但是它背后的基础描述却是本质的难点。一般来说，Ising模型是让磁性粒子中的每个自旋朝上或向下排列的概率相同，这个概率可以通过Hamiltonian（哈密顿量）计算。这个Hamiltonian 包含一个横向相互作用项和一个纵向磁场项，其中横向相互作用的作用是使得局部有序结构（也就是自旋的相邻两个点是同向或逆向的）成为优先选择的自旋排布方式。

在一定温度范围内，自旋排布以无序（不同向）和有序（同向）两种可能并存。低温时，存在着铁磁相，即大部分自旋呈现为同向的状态，这时系统处于自发磁化的状态；高温时，磁相互作用比热能弱，各自旋之间的相互作用相对较小，并且不存在磁序，系统处于无序状态。Ising模型中有一条定理，称为 Mermin-Wagner定理，它指出，二维规则晶格上Ising模型的自发磁化是不可能的，即Ising模型的磁化配平（与列数算）的可能性比较大，磁化的上升会导致自旋的杂乱无章，并不能稳定地保持特定方向的自旋结构。

然而，当我们将Ising模型转移到三维规则晶格上时，情况就有略微区别了。此时，自发磁化是可能的，且存在热力学相变，此时系统从无序状态转变为有序状态；而当温度达到某一临界值时，会发生相变，系统会从铁磁状态转变为无序状态，这也被称为“众数”升温。值得注意的是，这个相变只是热力学相变的一种形式，因为在这个过程中，系统的熵在不断增加，而没有任何阻碍熵增加的手段可以用来制住热力学相变。

除了热力学相变，Ising模型还能展现出一个更加难以追踪的现象——量子相变。量子力学中，有着很多奇特而神秘的现象，最具代表性的有量子纠缠。事实上，在量子力学中，存在一种物理量叫做交换强度，这个物理量与自旋之间的交换有关。对于Ising模型，当对于交换强度达到一定值时，系统会发生量子相变，从而实现自旋结构的转变，这种转变可以在极低温度下发生而不需要经过公式视作相变的温度范围。而相较于热力学性质的相变，量子相变则具有更为奇异和神秘的性质，例如拓扑在其中的作用，将两种不同的物态转变为两种不同的拓扑相态等等。

总之，Ising模型是物理学中一个简单却重要的模型，它为我们分析材料中的热力学和量子现象提供了不屈的便利和经验，尽管它不是完全现实世界的展现，但是其基本原理和局部的影响依然受到各领域物理学家的广泛研究和借鉴。