概率分布是数学中一个非常重要的概念，它反映了一个随机变量在其取值范围内各个取值所对应的可能性大小。在现代科学和技术中，概率分布的应用非常广泛，包括统计学、物理学、化学、社会科学以及金融领域等等。为了方便计算和应用，Matlab中提供了一些常用的概率分布函数，其中“normcdf”函数是计算正态分布的累积分布函数（CDF）的函数。

一、什么是正态分布

正态分布是数学统计中最为常见的一种概率分布，也称为高斯分布。正态分布是由连续随机变量X概率密度函数$f(x)$所描述的，形状为钟形曲线，函数曲线两端的斜率陡峭，中心为截距为$\mu$，方差为$\sigma^2$的高斯曲线，如下图所示。

正态分布的累积分布函数（CDF）为：

$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^x exp\{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\}dt$

CDF反映了一个正态随机变量X$\leq$x的概率，即P(X$\leq$x)。由于正态分布的CDF没有具有解析解，因此需要进行数值积分和模拟方法来近似计算其CDF值。

二、“normcdf”函数的语法和用法

Matlab中提供了“normcdf”函数来计算一个随机变量X符合正态分布的累积分布函数值。该函数的语法如下：

Y=normcdf(X,mu,sigma)

其中，X为指定的自变量，也就是所要求解的区间；mu和sigma是分布的平均值和标准差。函数“normcdf(X,mu,sigma)”返回P(X$\leq$x)的值。

例如，若要计算正态分布的累积分布函数值$P(X \leq 2)$，并且已知X的平均值$\mu=0$和标准差$\sigma=1$，则可用如下命令：

Y=normcdf(2,0,1)

命令结果Y将会是：

Y=0.97725

即$P(X \leq 2)=0.97725$。

在Matlab中，常常需要对正态分布求出一定概率密度的区间。举个例子，若要求解一个随机变量X符合正态分布，且其$\mu=0$,$\sigma=1$，且其概率密度$x\in[-1.96,1.96]$之间，可用如下命令：

Y=normcdf(1.96,0,1)-normcdf(-1.96,0,1)

命令结果Y将会是：

Y=0.9500

即，$P(-1.96\leq X \leq 1.96)=0.95$。

上述命令的实质是通过计算正态分布的累积分布函数值来求得区间内概率大小，该区间也被称为正态分布的95%置信区间。

三、实例演示

下面选取一个具体问题来演示如何。

假设一个超市发现其销售生鲜食品的需求呈正态分布，每天的需求量平均为2000公斤，标准差为300公斤。超市经理想要知道，一天销售量不足1600公斤的概率是多少？

解决该问题所需步骤如下：

1）将问题表述为符合正态分布的概率密度函数，该函数应满足均值为2000公斤，标准差为300公斤。即，生鲜食品销售量X的概率密度函数为：

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}*300}e^{-\frac{(x-2000)^2}{2*300^2}}$

2）计算P(X$\leq$1600)，即需要求解以下积分：

$P(X\leq1600)=\int_{-\infty}^{1600} f(x)dx$

3）使用“normcdf”函数进行计算，其命令如下：

p=normcdf(1600,2000,300)

4）根据命令返回的值p，得到答案。p的值即为销售量不足1600公斤的概率，因此答案为：

p=0.0062

即销售量不足1600公斤的概率为0.62%。

该例子显示了如何使用Matlab中的“normcdf”函数来计算正态分布的累积分布函数，其计算比较简单和直接。对于那些无法计算具有解析解的CDF值的情况，该函数可以快速解决问题，并且它也实现了数值方法和模拟方法的功能。因此，在科学和工程计算中，这个函数是非常有用的。