阶乘函数是数学上常见的一种函数，常用于解决排列组合问题。它们在计算机科学，统计学和数学中都有着广泛的应用。但是，当处理大数的阶乘时，如何有效地求解阶乘函数成为了一个非常棘手的问题。本文将从阶乘函数的概念入手，探究背后的秘密，并介绍几种常用的求解大数阶乘的方法。

一、阶乘函数的概念

阶乘函数（factorial function）是一个数学函数，表示正整数n的阶乘，通常用n!表示，其定义如下：

n！= n（n-1）（n-2）……3×2×1

例如，4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

用数学符号表示，阶乘函数可以用递归方式定义如下：

n!=n×（n-1）!

其中，0! （零的阶乘）被定义为1。

阶乘函数和组合问题密切相关。例如，在从n个不同的物体中选择r个物体的组合中，有nCr个不同的组合方式，其中

nCr = n!/[r!(n-r)!]

因此，阶乘函数在组合问题的计算中扮演了重要的角色。

二、阶乘函数性质分析

1. 阶乘函数增长速度非常快

根据定义，阶乘函数的增长速度非常快，因为每个额外的因子都使得阶乘的值乘以n，当n变大时，阶乘函数的值急剧增长。例如：

10! = 3,628,800

20! = 2.43 x 10^18

30! = 2.65 x 10^32

40! = 8.16 x 10^47

50! = 3.04 x 10^64

显然，当n越大时，阶乘函数的结果也越大，同时计算所需的时间和计算机存储需求也变得越来越高。

2. 阶乘函数的计算结果可以用数学公式进行估算

当数字很大时，计算阶乘函数是非常困难的。但是，可以使用一些数学公式进行近似估算。例如，斯特林公式是一种有效的方法，该公式可以用来非常接近于大数字的阶乘：

n! ≈ √(2πn) (n/e)^n

这个公式使用指数函数e和圆周率π的值，它的精度随着n的增加而增加。该公式在概率论，统计学和自然科学领域得到广泛应用。

3. 数学库的阶乘函数在计算大数时可能会出现错误

大多数语言都提供了阶乘函数的内置实现，但是它们在计算大数时可能会出现问题。例如，当输入一个超出一定范围的数字时，它们可能会返回0而不是准确的结果。这是因为用常规方式计算大数阶乘的难度和计算量非常大，可能会超出计算机所能处理的范围。因此，需要使用更高效的算法来计算大数阶乘。

三、求解大数阶乘的方法

1. 递归计算

递归计算是一种自上而下的算法，它将阶乘的计算分散到小的情况。如果n是一个小数（n<20），则可以使用递归算法来计算它的阶乘。如下所示：

function factorial(n) {

if (n === 1) {

return 1;

} else {

return n * factorial(n-1);

}

}

然而，递归算法可能会受到栈溢出的问题，并且计算阶乘的速度相对较慢。

2. 符号位数值

符号位数值是一种类似于递归的算法，但是它可以处理更大的数字。用数学的语言来说，符号位数值是通过中间结果的连乘而不是直接计算整个阶乘来计算大数阶乘的。例如：

function factorial(n) {

const totalBases = 8.0;

const basePower = Math.pow(10, totalBases);

const baseLog = Math.log(basePower);

let last = [1];

let length = 1;

for (let i = 2; i <= n; ++i) {

last = multiply(last, i, basePower, baseLog, totalBases);

length = last.length;

}

const str = last[length - 1].toString();

let result = str;

for (let i = length - 2; i >= 0; --i) {

const substr = last[i].toString();

result += '0'.repeat(totalBases - substr.length) + substr;

}

return result;

}

在计算阶乘时，我们将数字分成8位数（常数totalBases）长度的块，并将每个数字的乘积保存在数组中。任何时候，每个块的最大值都被保持在10 ^ totalBases以内，以避免在计算中间步骤时出现过高的详细细节。这个算法的效率较高，但它需要高精度运算和较大的存储器。

3. 计算对数

计算阶乘可以通过计算对数的方法进行优化。即用ln函数计算n!的值，然后对结果做指数运算。这个方法的优势在于它不会产生相乘或相加的爆炸。例如：

function factorial(n) {

return Math.exp(lnFactorial(n));

}

function lnFactorial(n) {

if (n == 0) {

return 0;

}

const log10 = Math.log(10);

let sum = 0;

for (i = 1; i <= n; i++) {

sum += Math.log10(i);

}

return sum;

}

计算对数和指数运算可以以每个数字的框架进行，而不会超出计算机的可用存储器。这个方法的缺点是需要使用对数函数和指数函数。不过这是一种通用方法，它可以应用于数学公式，例如Stirling公式，该公式可以用于非常接近于大数字的阶乘。

4. 矩阵算法

矩阵算法可以有效地解决大数阶乘的问题，该算法利用矩阵求幂。假设矩阵M包含了1到n的所有数字，其中的每个元素是一个真实数字。让M乘以自身，则第一行第一列代表2！，第一行第二列代表3！，以此类推。通过不断迭代，可以得到n！在矩阵中的值。例如：

function multiplyMatrix(a, b) {

const n = a.length;

const m = b[0].length;

const matrix = new Array(n);

for (let i = 0; i < n; i++) {

matrix[i] = new Array(m);

for (let j = 0; j < m; j++) {

matrix[i][j] = 0;

for (let k = 0; k < b.length; k++) {

matrix[i][j] += a[i][k] * b[k][j];

}

}

}

return matrix;

}

function matrixPower(n) {

let matrix = new Array(n+1).fill(0).map(() => new Array(n+1).fill(0));

for (let i = 1; i <= n; i++) {

matrix[1][i] = i;

}

for (let i = 2; i <= n; i++) {

matrix[i] = multiplyMatrix(matrix[i-1], matrix);

}

return matrix[n][n];

}

这个算法需要使用高精度运算和较大的存储器，并且迭代次数与n的大小成正比。

综上所述，大数阶乘是一个非常困难和棘手的问题。虽然有许多不同的算法可以用来解决这个问题，但使用高精度运算和存储器是绕不过的关键。对于不同类型的输入，不同的算法都有自己的优缺点。在实际应用中，需要针对具体问题来选择合适的方法。