正切函数是数学中的一种基本函数，它的定义可以先由正弦函数和余弦函数推导而得，即tan(x)=sin(x)/cos(x)。在图像上表现出来，正切函数呈现出道道波浪形，这是由于其周期性而造成的。正切函数不仅仅有着不同于其他基本函数的图像形态，在实际中还有着极其重要的应用。

一、正切函数的性质

正切函数有很多性质，我们在学习的过程中应该了解并学会应用。其中，最突出的性质便是：

1. 零点性质：tan(x) = 0的解为x = nπ，其中n∈Z。

从正切函数的定义tan(x)=sin(x)/cos(x)出发，当cos(x)=0时，tan(x)为无穷大。但是，当sin(x)=0时，tan(x) = 0。而此时，x = nπ，其中n∈Z。也就是说，它在每个π点会出现一个零点。图像如下：

2. 周期性质：tan(x)的周期为π，即tan(x+π)=tan(x)。

这是由于tan(x)相当于sin(x)和cos(x)的比值，而s+π和c+π是s和c的相反数。可以通过图像来理解：

3. 奇偶性质：tan(-x)=-tan(x)。

由于sin(-x)=-sin(x)和cos(-x)=cos(x)而推导得出。

II、正切函数的应用

正切函数在实际中有着丰富的应用，其中最为突出的便是在三角测量中的应用。

1. 如何利用正切函数计算三角形的边长？

给定一个直角三角形，知道斜边和一个角的正切值，如何计算另一个边长？假设我们要求的那条边长的对边为a，邻边为b。

我们可以利用正切函数的定义：tan(a) = b/a，即a = b/tan(a)。

2. 如何利用正切函数计算一段山地路线的斜率？

山地公路的上下坡路段斜率的不同可能会让人咋舌。然而，利用正切函数，我们可以求出任何一个坡度角的正切值（斜率），而这一项信息能够帮助我们计算出路段的斜率。

所有的坡度角度数都是以水平面为参照点的，因此，所谓的“斜率”就是坡度角的正切值。那么，一段陡峭的山路的坡度角可以用切线函数表示，斜率就是正切函数的切线值。

3. 如何利用正切函数推导出勾股定理？

勾股定理是用来计算直角三角形的定理，它指的是直角三角形中，直角边平方等于两条斜边的平方和。

如图，我们要求三角形ABC中的斜边c的长度。我们不妨以面积相等的两个割三角形，在三角形ACD和三角形BDC中，将tan(a)和tan(b)分别用两种方法求出。

在三角形ACD中，tan(a) = h/b，我们再利用三角形ACD的勾股定理，会得到h²+b²=c²。（1）

在三角形BDC中，tan(b) = h/a，我们利用三角形BDC的勾股定理，会得到h²+a²=c²。（2）

因为(1)式和(2)式的等号右边是一样的，所以我们可以将它们联立起来，得到如下的等式：b² + a² = c² 。同时，这也就是我们所熟知的勾股定理。这就是关于正切函数的一些应用。

正切函数是数学中的一个非常重要的函数，并且有着丰富的应用。从零点性质、周期性质和奇偶性质三个方面更好地理解正切函数。正切函数能够解决三角形中的许多问题，还可以帮助我们计算斜率和推导勾股定理。因此，在学习和应用数学的过程中，正切函数是一个不可忽视的重要知识点。