正割函数是初等三角函数之一，它是指在直角三角形中，斜边与相邻角的正切值的倒数。正割函数的性质和求解方法是学习初等三角函数的基础，下面我们来仔细探究一下。

一、正割函数的定义及图象

正割函数的定义：在直角三角形中，斜边与相邻角的正切值的倒数。

正割函数的符号：$sec\theta$，其中$\theta$为角的弧度制表示。

正割函数的公式：$sec\theta=\frac{1}{cos\theta}$。

正割函数的图象：

我们可以看到，正割函数的图象为一条曲线，这条曲线在$\theta=0$处与$\theta=\pi$处有无限大的间断点，剩余部分为连续的。

二、正割函数的性质

1、定义域和值域

定义域：$D=\{x|x\in R,x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\}$

值域：$R=\{y|y\in R,y\geq1$或$y\leq-1\}$

其中，$k$为整数。

2、奇偶性

正割函数是偶函数，即$sec(-\theta)=sec\theta$。

我们可以证明：$sec(-\theta)=\frac{1}{cos(-\theta)}=\frac{1}{cos\theta}=sec\theta$。

3、周期性

正割函数的周期是$2\pi$，即$sec(\theta+2k\pi)=sec\theta$。

证明：$sec(\theta+2k\pi)=\frac{1}{cos(\theta+2k\pi)}=\frac{1}{cos\theta}=sec\theta$。

4、单调性

正割函数在定义域内为连续函数并且单调递增。

我们可以用导数证明：$y=secx$，则$y'=secx\tanx$，由于$x\in(\frac{\pi}{2}-k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$，且$secx>0,tanx>0$，故$y'=secx\tanx>0$，所以$y=secx$单调递增。

5、对称轴

正割函数的对称轴为$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$，即$x$轴上的点$(\frac{\pi}{2}+k\pi,0)$。

证明：$sec(\pi-x)=\frac{1}{cos(\pi-x)}=-\frac{1}{cosx}=sec(-x)$。

三、正割函数的求解方法

在三角函数中，正割函数的意义为斜边与相邻角的正切值的倒数，因此，我们可以利用已知角的正切值来求解正割函数。

举个例子：已知一直角三角形中，$\sin\theta=\frac{3}{5}$，求$sec\theta$。

解：$\because\sin\theta=\frac{3}{5}$

$\therefore\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}=\pm\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm\frac{4}{5}$

由于我们需要求正割函数，因此我们需要选取正弦对应的余角，即$\cos\theta>0$。

$\therefore\cos\theta=\frac{4}{5}$

$\therefore sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}$

所以，$sec\theta=\frac{5}{4}$。

四、总结

通过以上探究，我们知道了正割函数的定义、符号、公式及图象，进一步探究正割函数的性质，如定义域和值域、奇偶性、周期性、单调性和对称轴，最后介绍了正割函数的求解方法。

当然，学习初等三角函数需要我们不断探究、反复理解，才能更好地运用到实际问题中去。